0,999... é igual a 1?

Você já parou para pensar que se a dízima periódica 0,999... é igual a 1? De fato isto é uma verdade que pode ser provada de diferentes maneiras.


Acompanhe uma delas:

Seja x = 0,9999...
Então 10.x = 9,9999...
Logo, 10.x - x = 9,9999... - 0,9999...
Chegamos que 9.x = 9 e, portanto, x =1.

Esta é uma maneira de se explicar de forma satisfatória para alunos do 8o ou 9o ano do ensino fundamental.

Para alunos do ensino médio ou professores, pode-se utilizar também a série convergente. Veja:


Segue que 0,9999... é a mesma coisa que 0,9999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n + ...

Perceba que a soma "não para" ou "não tem fim". Não tem um último 9 lá na direita. Somas desse tipo, com infinitos termos, são conhecidas como séries em matemática. O jeito de se tornar esse negócio de "soma infinita" ou série rigoroso é visto num curso de cálculo ou de análise.
No colégio, vemos apenas uma série, a série geométrica. Se x é um número real tal que -1 < x < 1, então segue que:

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... = 1/(1-x)

Vamos voltar ao nosso 0,9999.... .

0,9999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n + ...

Vamos fatorar o 9 no termo da direita:

0,9999... = 9* (1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... + 1/10^n + ...)

Vou chamar essa expressão de A.

Agora, olhando a nossa série geométrica, com x = 1/10, temos que:

1 + 1/10 + 1/100 + ... = 1/(1-1/10) = 10/9.

Então, subtraindo 1 dos dois lados,

1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 1/9.

Substituindo isso na nossa expressão A, chegamos que

0,999999... = 9 * 1/9 = 1.

 
Fontes: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9…
http://mathforum.org/library/drmath/view…

Curioso não?

Qualquer dúvida escrevam que terei prazer em atender.