Matrizes e Computação Gráfica - Justificativa

Por que aquelas matrizes realizam os movimentos desejados (Translação, redimensionamento e rotação)?

Esticando Desenhos:

Queremos uma matriz E que “estique” uma figura. Se pensarmos em esticar algo em tamanho 2 vezes o original devemos multiplicá-la por 2. Mas queremos esticar a figura em proporções diferentes. Assim, ao realizarmos a operação abaixo obtemos:

Assim, E deve ter ordem 1x1. Mas apenas redimensionaria a figura proporcionalmente, mas queremos esticá-la em quantidades diferentes. Então, nessa forma não é possível redimensionarmos. Faremos assim então:

            Observe que a ordem da matriz E deve ser 2x2, afinal se fosse 1x2 por exemplo, resultaria em uma matriz de ordem 1x1, mas a matriz resultante deve ter ordem 2x1.

            Vamos às contas:

  

Se quisermos redimensionar a figura 2 vezes na horizontal, então:

  Logo:

Se quisermos redimensionar a figura 5 vezes na vertical, então:

 Logo:

Ou seja, teremos a matriz REDIMENSIONAMENTO: 

Onde o redimencionamento horizontal fica eme o redimencionamento vertical fica em .

Rotacionando figuras

             Na figura acima temos um segmento de reta (cinza) que será rotacionado  graus (preto). Todas suas características devem ser preservadas, mudando apenas sua inclinação.

            O ponto que determina o segmento cinza tem sua coordenada x que será mudada para uma coordenada x’ como o ponto que determina o segmento preto.

            Como essa mudança acontece? Através de uma operação com x e y que resulte em x’ e y’ que façam a figura inclinar.

Para isso, queremos:

Vejamos a coordenada x:

            Observe o triângulo retângulo formado pelo segmento cinza. Como vamos utilizar a coordenada x é interessante usar x, a hipotenusa do triangulo e o ângulo . Assim, vamos utilizar a razão trigonométrica cosseno para encontramos alguma relação entre x e x’.

Como 

 

 então:

 Da mesma forma encontramos:

 

Temos então que nossa matriz transformação é: